Question

如圖，已知直線l與拋物線x²＝4y相切于點(diǎn)P(2,1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)．

(1)若動點(diǎn)M滿足＝0，求點(diǎn)M的軌跡C；

(2)若過點(diǎn)B的直線l′(斜率不等于零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F(E在B、F之間)，試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

　(1)由x²＝4y得y＝x²，∴y′＝x.

∴直線l的斜率為y′|_x＝2＝1，

故直線l的方程為y＝x－1，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)．

，

整理，得＋y²＝1.

∴動點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為2，短軸長為2的橢圓．

(2)由題意知直線l′的斜率存在且不為零，

設(shè)l′的方程為y＝k(x－2)(k≠0)①，

將①代入＋y²＝1中，整理得(2k²＋1)x²－8k²x＋(8k²－2)＝0，

由Δ>0得0<k²<.

設(shè)E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，

由此可得，且0<λ<1.

由②知(x₁－2)＋(x₂－2)＝，

(x₁－2)·(x₂－2)＝x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＝，

∴，即k²＝－.

∵0<k²<，∴0<－<，

解得3－2<λ<3＋2.

又∵0<λ<1，∴3－2<λ<1，

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3－2，1)．