Question

現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a）與f₂（x）=log_a

1

x-a

，其中a＞0，a≠1．
（1）求函數(shù)F（x）=f₁（x）-f₂（x）的表達(dá)式與定義域；
（2）給出如下定義：“對(duì)于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），如果對(duì)任意x∈[m，n]，有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在區(qū)間[m，n]上是非接近的．”若0＜a＜1，試討論f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是否是接近的．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a）的定義域?yàn)椋?a，+∞），函數(shù)f₂（x）=log_a

1

x-a

的定義域?yàn)椋╝，+∞），求其交集即為函數(shù)F（x）=f₁（x）-f₂（x）的定義域，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得函數(shù)F（x）=f₁（x）-f₂（x）的解析式；
（2）f₁（x）與f₂（x）接近?|log_a[（x-3a）（x-a）]|≤1，即a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得兩個(gè)函數(shù)接近時(shí)，a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a）的定義域?yàn)椋?a，+∞），
函數(shù)f₂（x）=log_a

1

x-a

的定義域?yàn)椋╝，+∞），
由a＞0，故3a＞a，
故函數(shù)F（x）=f₁（x）-f₂（x）=log_a[（x-3a）（x-a）]的定義域?yàn)椋?a，+∞），
（2）∵0＜a＜1，
∴t=（x-3a）（x-a）在區(qū)間[a+2，a+3]上單調(diào)遞增，
又由y=log_at為減函數(shù)，
∴f₁（x）與f₂（x）接近?|log_a[（x-3a）（x-a）]|≤1，
即a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

，
即

(a+2-3a)(a+2-a)≤a (a+3-3a)(a+3-a)≤ 1 a

，
解得：0＜a≤

9- 57

12

，
即當(dāng)0＜a≤

9- 57

12

時(shí)，兩個(gè)函數(shù)是接近的，
當(dāng)

9- 57

12

＜a＜1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)是非接近的．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)的定義域，新定義，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算強(qiáng)度大，屬于中檔題目．