Question

設(shè)點(diǎn)P（x，y）為平面上以A（4，0），B（0，4），C（1，2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界）上一動點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且

OP

=λ

OA

+μ

OB

，則λ+μ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得（x，y）=（4λ，4μ），從而可得λ+μ=

x

4

+

y

4

，利用平面區(qū)域，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵P（x，y），A（4，0），B（0，4），

OP

=λ

OA

+μ

OB

，
∴（x，y）=（4λ，4μ），
∴λ=

x

4

，μ=

y

4

，
∴λ+μ=

x

4

+

y

4

．
∵點(diǎn)P（x，y）為平面上以A（4，0），B（0，4），C（1，2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界）上一動點(diǎn)，
∴λ+μ=

x

4

+

y

4

在點(diǎn)A或點(diǎn)B處取得最大值1，在點(diǎn)C處取得最小值

3

4

，
∴λ+μ的取值范圍為[

3

4

，

1]．
故答案為：[

3

4

，

1]．

點(diǎn)評：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查不等式組不是的平面區(qū)域，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．