Question

【題目】已知函數(shù)（），.

(1)若對任意的，，都有恒成立，試求m的取值范圍；

(2)用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)（），討論關(guān)于x的方程的實數(shù)解的個數(shù).

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，即來研究函數(shù)的最值，再分當，，時三種情況分分類討論求解.

（2） 將方程的實數(shù)解的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的個數(shù)問題來研究，根據(jù)函數(shù)的定義，分，，，即，，三種情況下，對討論.

（1），

當，即時，在上單調(diào)遞增，

，，

所以，

解得，不合題意舍去，

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

而，，

所以有，

解得，即，

當即時，在上單調(diào)遞減，

，，

，

解得，不合題意，

.綜上所述，m的取值范圍為.

（2）方程的實數(shù)解的個數(shù)函數(shù)零點的個數(shù).

①當時，，所以，

所以函數(shù)在上沒有零點，即方程在上沒有實數(shù)解；

②當時，，，

若，即時，

，所以是函數(shù)的零點，

即方程有一實數(shù)解，

若，即，

，所以此時不是函數(shù)的零點，

即方程此時無實數(shù)解；

.③當時，，所以只需考慮在上的零點個數(shù)，

則由得，即問題等價于直線與函數(shù)，圖象的交點的個數(shù).

由于對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

結(jié)合，的圖象可知，

當時，與函數(shù)，的圖象沒有交點，

即函數(shù)在上沒有零點，即方程在上沒有實數(shù)解；

當或時，在上有一個實數(shù)解；

當時，在上有兩個實數(shù)解；

綜上所述，當或時，方程有一個實數(shù)解，

當或時，方程在上有兩個實數(shù)解，

當時，方程在上有三個實數(shù)解.