已知數(shù)列{an},Sn是其前n項(xiàng)的和,且滿足a1=2,對(duì)一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立,設(shè)bn=an+n.
(1)求a2;
(2)求證:數(shù)列{bn} 是等比數(shù)列;
(3)求使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
40
81
成立的最小正整數(shù)n的值.
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)將n=2代入Sn+1=3Sn+n2+2即可求a2
(2)由Sn+1=3Sn+n2+2得到Sn=3Sn-1+(n-1)2+2兩式相減即可得出an+1與an的關(guān)系,根據(jù)等比數(shù)列定義即可判斷{bn}是等比數(shù)列;
(3)利用等比數(shù)列求和公式,求出
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
,解不等式即可.
解答: 解:(1)由a1=2及Sn+1=3Sn+n2+2得,
當(dāng)n=1時(shí),S2=3S1+12+2,
即a1+a2=3a1+3
解得,a2=7.
(2)由Sn+1=3Sn+n2+2
Sn=3Sn-1+(n-1)2+2
兩式相減得,an+1=3an+2n-1,
∴an+1+(n+1)=3(an+n)
∵bn=an+n,
∴bn+1=3bn
∴{bn}是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.
(3)由(2)得bn=3n,
1
bn
=
1
3n
,
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3

=
1
2
(1-
1
3n
)>
40
81
,
∴3n>81
解得n>4,最小正整數(shù)n的值5.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查an=Sn-Sn-1的靈活應(yīng)用,等比數(shù)列的定義以及求和公式的應(yīng)用,解不等式等知識(shí).屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+4x+5,若二次函數(shù)y=g(x)滿足:①y=f(x)與y=g(x)的圖象在點(diǎn)P(1,10)處有公共切線;②y=f(x)+g(x)是R上的單調(diào)函數(shù).則g(x)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知全集U={x∈Z|1≤x≤5},A={1,2,3},∁UB={1,2},則A∩B(  )
A、{1,2}
B、{1,3}
C、{3}
D、{1,2,3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線L:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),且kOA•kOB=-
b2
a2
,求證:△AOB的面積為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生作為樣本,將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六組:[40,50),[50,60),[90,100)后得到如圖的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)求圖中實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生500人,試估計(jì)該校高一年級(jí)在考試中成績(jī)不低于60分的人數(shù);
(Ⅲ)若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,試用列舉法求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)(1,
2
2
),右焦點(diǎn)為F2.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-
1
2
,線段AB的中垂線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求
F2P
F2Q
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,
2
)
,線段FA的中點(diǎn)在拋物線上.設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與拋物線相切于點(diǎn)P,且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,以PQ為直徑的圓記為圓C.
(1)求p的值;
(2)試判斷圓C與x軸的位置關(guān)系;
(3)在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)M,使得圓C恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo),直線l:y=
3
x-3經(jīng)過(guò)橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),且點(diǎn)(0,b)到直線l的距離為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)A、B、C是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且|AC|=|CB|.問(wèn)△ABC的面積是否存在最小值?若存在,求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列描述正確的序號(hào)為
 

(1)空集是任何集合的子集     
(2)f(x)=-x2是冪函數(shù)  
(3)若A⊆B,則A∩B=A
(4)在函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù),在定義域中都有一個(gè)或多個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)
(5)集合A={x|x是縣直高中的學(xué)生},集合B={x|x是縣直高中的班級(jí)},對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每個(gè)學(xué)生都對(duì)應(yīng)一個(gè)班級(jí),那么從集合A到集合B可以構(gòu)成映射.

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