Question

函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數(shù)f（x）有極值-

4

3

．若關(guān)于x的方程f（x）=k有三個根，則實數(shù)k的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的極值，求出a，b，從而確定函數(shù)f（x）的表達式，求出函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：當x=2時，函數(shù)f（x）有極值-

4

3

．
則f（2）=-

4

3

，且f′（2）=0．
∵f（x）=ax³-bx+4，
∴f′（x）=3ax²-b，
則

8a-2b+4=- 4 3 12a-b=0

，
解得

a= 1 3 b=4

，即f（x）=

1

3

x³-4x+4，f′（x）=x²-4，
當f′（x）＞0得x＞2或x＜-2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0得-2＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=-2時，函數(shù)取得極大值f（-2）=

28

3

，
當x=2時，函數(shù)f（x）有極小值-

4

3

．
要使關(guān)于x的方程f（x）=k有三個根，
則-

4

3

＜k＜

28

3

，
故答案為：（-

4

3

，

28

3

）．

點評：本題主要考查函數(shù)極值的應(yīng)用和判斷，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．