Question

已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（2）設(shè)數(shù)列{x_n}滿足xnexn+1=exn-1且x₁=1，證明：{x_n}單調(diào)遞減且xn＞

1

2n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＞

1

2n

，再結(jié)合exn-1＜x_nexn，即可證明：{x_n}單調(diào)遞減．

解答： 證明：（1）因?yàn)閒（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因此f（x）＜f（0）=0．                               …2分
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞

1

2n

．
①當(dāng)n=1時(shí)，1₁=1＞

1

2

，所以x₁＞

1

2

成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，x_k＞

1

2k

．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，xnexn+1=exn-1，則exk+1=

exk-1

xk

，…4分
當(dāng)x＞0時(shí)，由不等式e^x-1＞x得

ex-1

x

＞1且g（x）=

ex-1

x

在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵x_k＞

1

2k

，
∴exk+1=

exk-1

xk

＞

e 1 2k -1

1 2k

＞

1

2k+1

．
所以x_k+1＞

1

2k+1

．
由①②可知對任意的正整數(shù)n，總有x_n＞

1

2n

．
由（1）知（1-x_n）exn-1＜0，所以exn-1＜x_nexn．
由xnexn+1=exn-1知x_n+1＜x_n．       
所以{x_n}單調(diào)遞減  …10分．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．