Question

在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“折線路徑”，所有“折線路徑”中長度最小的稱為M到N的“折線距離”．如圖所示的路徑MD₁D₂D₃N與路徑MEN都是M到N的“折線路徑”．某地有三個居民區(qū)分別位于平面xOy內(nèi)三點A（-8，1），B（5，2），C（1，14），現(xiàn)計劃在這個平面上某一點P（x，y）處修建一個超市．
（1）請寫出點P到居民區(qū)A的“折線距離”d的表達式（用x，y表示，不要求證明）；
（2）為了方便居民，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“折線距離”之和最小．

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)“折線距離”的定義，可得點P到居民區(qū)A的“折線距離”長度最小值；
（II）由題意知，點P到三個居民區(qū)的“折線距離”長度之和的最小值為點P到三個居民區(qū)的“折線距離”長度最小值之和（記為d）的最小值，分類討論，利用絕對值的幾何意義，即可求得點P的坐標．

解答： 解：設點P的坐標為（x，y），則
（1）點P到居民區(qū)A的“折線距離”長度最小值為|x+8|+|y-1|，y∈[0，+∞）；
（2）由題意知，點P到三個居民區(qū)的“折線距離”長度之和的最小值為點P到三個居民區(qū)的“折線距離”長度最小值之和（記為d）的最小值
∵d₁（x）=|x+8|+|x-5|+|x-1|≥|x+8|+|x-5|≥13
∴當且僅當x=1時，d₁（x）=|x+8|+|x-5|+|x-1|的最小值為13，
∵d₂（y）=|y-1|+|y-2|+|y-14|≥|y-1|+|y-14|≥13
∴當且僅當y=2時，d₂（y）=|y-1|+|y-2|+|y-14|的最小值為13
∴點P的坐標為（1，2）時，點P到三個居民區(qū)的“折線距離”長度之和的最小，且最小值為26．

點評：本題考查新定義，考查學生建模的能力，同時考查學生的理解能力，屬于難題．