Question

已知橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）橢圓E₂的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是橢圓E₁長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的

λ

倍（λ＞0，λ≠1）．
（Ⅰ）求橢圓E₂的方程；并證明橢圓E₁，E₂的離心率相同；
（Ⅱ）當(dāng)λ=2時(shí)，設(shè)M，N是橢圓E₁上的兩個(gè)點(diǎn)，OM，ON的斜率分別是k_OM，k_ON，且k_OM•k_ON=-

b2

a2

（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若OMPN是平行四邊形，證明：點(diǎn)P在橢圓E₂上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是橢圓E₁長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的

λ

倍，可得橢圓E₂的方程；確定焦距長(zhǎng)也為橢圓E₁焦距長(zhǎng)的

λ

倍，即可證明橢圓E₁，E₂的離心率相同；
（Ⅱ）設(shè)M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），則由k_OM•k_ON=-

b2

a2

，可得cos（α-β）=0，確定P的坐標(biāo)，代入橢圓E₂的方程，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)橢圓E₁，E₂的離心率分別為e₁，e₂，則
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是橢圓E₁長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的

λ

倍，
∴橢圓E₂的方程為

x2

λa2

+

y2

λb2

=1．
又長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是橢圓E₁長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的

λ

倍，
∴焦距長(zhǎng)也為橢圓E₁焦距長(zhǎng)的

λ

倍，
∴橢圓E₁，E₂的離心率相同；
（Ⅱ）證明：設(shè)M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），則
∵k_OM•k_ON=-

b2

a2

，
∴

b

a

tanα•

a

b

tanβ=-

b2

a2

，
∴tanα•tanβ=-1，
∴cos（α-β）=0．
設(shè)P（x，y），則∵OMPN是平行四邊形，
∴x=a（cosα+cosβ），y=b（sinα+sinβ），
∴λ=2時(shí)，

x2

λa2

+

y2

λb2

=

1

2

[2+2cos（α-β）]=1，
∴點(diǎn)P在橢圓E₂上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查橢圓的參數(shù)方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．