Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=ax³，（a≠0）有以下說法：
①x=0是f（x）的極值點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
③若a＞0且x≠0則f(x)+f(

1

x

)有最小值是2a．
④f（x）的圖象與（1，f（1））處的切線必相交于另一點(diǎn)．
其中說法正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)于①②，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析原函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷原函數(shù)極值的情況；
對(duì)于③，由基本不等式求出函數(shù)最值，從而判斷③的真假；
對(duì)于④，求出f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程，和原函數(shù)聯(lián)立后求解x的值，由解得的x的值判斷命題④的真假．

解答： 解：由f（x）=ax³，（a≠0），得f′（x）=3ax²．
①當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）≤0，
∴函數(shù)f（x）是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，f（x）無極值點(diǎn)．命題①錯(cuò)誤；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）≤0，∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，命題②正確；
③a＞0且x≠0時(shí)，f(x)+f(

1

x

)=ax3+

a

x3

=a(x3+

1

x3

)．
若x＜0，則a(x3+

1

x3

)=-a[(-x3)+

1

(-x3)

]≤-2a．
∴命題③錯(cuò)誤；
④f′（1）=3a，f（1）=a，
∴f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為：y-a=3a（x-1），即y=3ax-2a．
聯(lián)立

y=3ax-2a y=ax3

，得ax³-3ax+2a=0，即x³-3x+2=0，解得：x=-2或x=1．
∴f（x）的圖象與（1，f（1））處的切線必相交于另一點(diǎn)（-2，-8a）．
∴正確命題的序號(hào)是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵是掌握原函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)符號(hào)間的關(guān)系，是中檔題．