Question

3．設(shè)a＞0，b＞0．若$\sqrt{3}是{3^a}與{3^b}的等比中項(xiàng)，則\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 2+$3\sqrt{2}$
• D． 3+$2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 $\sqrt{3}$是3^a與3^b的等比中項(xiàng)，可得a+b=1．利用$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}）$=3+$\frac{a}+\frac{2a}$及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{3}$是3^a與3^b的等比中項(xiàng)，
∴3^a•3^b=$（\sqrt{3}）^{2}$=3，
∴a+b=1．
∵a＞0，b＞0．
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}）$=3+$\frac{a}+\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}$a=$2-\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、變形利用基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．