Question

在平面xoy中，不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域?yàn)閁，不等式組

x-y≥0 x+y≥0

確定的平面區(qū)域?yàn)閂．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U中任取3個(gè)“整點(diǎn)”，求這些“整點(diǎn)”恰好有兩個(gè)“整點(diǎn)”落在區(qū)域V中的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U中每次任取一個(gè)點(diǎn)，若所取的點(diǎn)落在區(qū)域V中，稱試驗(yàn)成功，否則稱試驗(yàn)失�。�現(xiàn)進(jìn)行取點(diǎn)試驗(yàn)，到成功了4次為止，求在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式分別求出對應(yīng)區(qū)域內(nèi)的“整點(diǎn)”個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)幾何概型的概率公式求出相應(yīng)的面積，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）平面區(qū)域U中的整點(diǎn)為：（2，0），（-1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），（0，0），
（-1，0），（-2，0），（0，-2），（-1，-1），（0，-1），（1，-1）共13個(gè)；
平面區(qū)域V中的整點(diǎn)為：（0，0），（1，0），（2，0），（1，1），（1-1）共5個(gè)．
記“在區(qū)域U中任取3個(gè)“整點(diǎn)”，這些“整點(diǎn)”恰好有兩個(gè)“整點(diǎn)”落在區(qū)域V中”為事件A．
則P(A)=

C 2 5 C 1 8

C 3 13

=

40

143

．
（Ⅱ）平面區(qū)域?yàn)閂的面積為SV=

1

2

×

π

2

×22=π，平面區(qū)域?yàn)閁的面積為SU=π×22=4π．
所以在區(qū)域U中每次任取一點(diǎn)，落在區(qū)域V中的概率為

π

4π

=

1

4

．
由題意得，記“到成功了4次為止，在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗”為事件A，
則P(A)=

A

2 4

(

1

4

)3(1-

1

4

)3×

1

4

=

81

4096

．

點(diǎn)評：本題考查古典概率，幾何概率，計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．中檔題．