Question

如圖，有一條光線沿直線y=4射到拋物線y²=4x上的一點(diǎn)P，經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線的交于另一點(diǎn)Q，O是拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，求弦PQ的斜率和△OPQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：解方程組

y=4 y2=4x

，求出P（4，4），再由拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），能求出弦PQ的斜率；解方程組

y2=4x y= 4 3 (x-1)

，求出Q（

1

4

，-1），由S_△OPQ=

1

2

•|OF|•（|y_p|+|y_Q|），能求出△OPQ的面積．

解答： 解：∵有一條光線沿直線y=4射到拋物線y²=4x上的一點(diǎn)P，
∴解方程組

y=4 y2=4x

，得P（4，4），
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
∴直線PF的方程為

y

x-1

=

4

4-1

，
即y=

4

3

（x-1），
∵P，F(xiàn)，Q共線，∴弦PQ的斜率k=

4

3

．
聯(lián)立

y2=4x y= 4 3 (x-1)

，消去y，得4x²-17x+4=0，
解得

x= 1 4 y=-1

，或

x=4 y=4

，∴Q（

1

4

，-1），
∴S_△OPQ=

1

2

•|OF|•（|y_p|+|y_Q|）
=

1

2

×1×(4+1)
=

5

2

．
∴弦PQ的斜率是

4

3

，△OPQ的面積是

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程的合理運(yùn)用．