Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2014型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的解析式，再利用新定義對x分類討論，結(jié)合絕對值的意義綜合可得．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，
設x＜0，則-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
又由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0．
∴f(x)=

|x-a|-2a，x＞0 0，x=0 -|x+a|+2a，x＜0

，
又∵f（x）為R上的“2014型增函數(shù)”，
∴當x＞0時，|x+2014-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2014-a|＞|x-a|恒成立，
式子|x+2014-a|＞|x-a|的幾何意義為數(shù)軸上到點a的距離小于到點a-2014的距離，
又x＞0，∴a+a-2014＜0，解得a＜1007；
當x＜0＜x+2014時，|x+2014-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+2014-a|+|x+a|＞4a恒成立，
∴根據(jù)幾何意義得|2a-2014|＞4a，即a＜

1007

3

；
當x＜x+2014＜0時，-|x+2014+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+2014+a|＜|x+a|恒成立，
∴-a-a-2014＞0，即a＜1007．
綜上知：實數(shù)a的取值范圍為a＜

1007

3

故答案為：a＜

1007

3

點評：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)、新定義、分類討論和絕對值的意義等基礎知識與基本技能方法，屬中檔題．