Question

15．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸經(jīng)過點(diǎn)P（1，-3）且離心率為$\sqrt{2}$的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求與雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共漸近線且過$A（{2\sqrt{3}，-3}）$點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求雙曲線方程為：$\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{k}=1（{k≠0}）$，由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（1，-3），能求出雙曲線方程．
（2）法一：雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的漸近線方程為：$y=±\frac{3}{4}x$，從而$b=\frac{3}{4}a$，由$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在雙曲線上，利用待定系數(shù)法能求出雙曲線方程．
法二：設(shè)與雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共漸近線的雙曲線方程為：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$，由點(diǎn)$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在雙曲線上，利用待定系數(shù)法能求出雙曲線方程．

解答 解：（1）∵雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且離心率為$\sqrt{2}$，
∴設(shè)所求雙曲線方程為：$\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{k}=1（{k≠0}）$，
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（1，-3），∴$\frac{1}{k}-\frac{{{{（{-3}）}^2}}}{k}=1$，
∴$\frac{1}{k}-\frac{9}{k}=1$，∴k=-8，
∴所求雙曲線方程為$\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{8}=1$．
（2）解法一：雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的漸近線方程為：$y=±\frac{3}{4}x$
（i）設(shè)所求雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
∵$\frac{a}=\frac{3}{4}$，∴$b=\frac{3}{4}a$①
∵$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在雙曲線上
∴$\frac{12}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$②
由①-②，得方程組無解
（ii）設(shè)雙曲線方程為$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$
∵$\frac{a}=\frac{3}{4}$，∴$b=\frac{4}{3}a$③
∵$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在雙曲線上，∴$\frac{9}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1$④
由③④得${a^2}=\frac{9}{4}$，b²=4
∴所求雙曲線方程為：$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．
綜上，所求雙曲線方程為$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．
（2）解法二：設(shè)與雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共漸近線的雙曲線方程為：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$
∵點(diǎn)$A（{2\sqrt{3}，-3}）$在雙曲線上，∴$λ=\frac{12}{16}-\frac{9}{9}=-\frac{1}{4}$
∴所求雙曲線方程為：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-\frac{1}{4}$，即$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)和待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．