Question

如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點H、G分別是線段EF、BC的中點．
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE；
（2）點M在直線EF上，且MG∥平面AFD，求平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出AH⊥AB，AH⊥BC，AC⊥BC，從而得到BC⊥面AHC，由此能證明面AHC⊥面BCE．
（2）分別以AD、AB、AH所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值．

解答： （1）證明：在菱形ABEF中，
∵∠ABE=60°，∴△AEF是等邊三角形，
又∵H是線段EF的中點，∴AH⊥EF，AH⊥AB，
∵面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
∴AH⊥面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
∴AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又∵AH∩AC=A，∴BC⊥面AHC，又BC?面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．…．（6分）
（2）解：分別以AD、AB、AH所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則有A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2

3

），
F（0，-2，2

3

），H（0，0，2

3

），G（1，3，0），M（0，m，2

3

），
設點M（0，m，2

3

），則存在實數(shù)λ，μ，使得

GM

=λ

AD

+μ

AF

，
代入解得M（0，1，2

3

），
由（1）知平面AHC的法向量是

BC

=（2，-2，0），
設平面ACM的法向量是

n

=（x，y，z），
∵

AC

=(2，2，0)，

AM

=(0，1，2

3

)，
∴

2x+2y=0 y+2 3 z=0

，取z=

3

，得

n

=（6，-6，

3

），
∴cos＜

BC

，

n

＞=

24

2 2 •5 3

=

2 6

5

，
即平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為

2 6

5

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．