Question

7．已知向量$\overrightarrow a=（{sin（{2x+\frac{π}{6}}），1}）$，$\overrightarrow b=（{\sqrt{3}，cos（{2x+\frac{π}{6}}）}）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若$f（A）=\sqrt{3}，sinC=\frac{1}{3}，a=3$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），從而可得2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，從而解得；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)可得A=$\frac{π}{6}$；再由sinC=$\frac{1}{3}$可得C＜$\frac{π}{6}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，從而利用正弦定理求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
即kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，（k∈Z），
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）；
（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$或2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴A=kπ或A=kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）；
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$；
∵sinC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），sinA=$\frac{1}{2}$，
∴C＜$\frac{π}{6}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，
∴b=$\frac{3sinB}{sinA}$=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用及三角恒等變換的應(yīng)用，同時(shí)考查了解三角形的應(yīng)用．