Question

在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點(diǎn)A₁，A₂，B₁，B₂分別為四個頂點(diǎn)，已知菱形A₁B₁A₂B₂和菱形B₁F₁B₂F₂的面?zhèn)�積分別為4

3

和2

3

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右頂點(diǎn)A₂作兩條互相垂直的直線分別和橢圓交于另一點(diǎn)P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)菱形A₁B₁A₂B₂和菱形B₁F₁B₂F₂的面?zhèn)�積分別為4

3

和2

3

，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線A₂P的方程為：y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y整理，利用韋達(dá)定理，求出P的坐標(biāo)，同理求出Q的坐標(biāo)，再分類討論，求出直線PQ方程，即可得出直線PQ過定點(diǎn)．

解答： 解：（1）依題意知：

1 2 •2a•2b=4 3 1 2 •2c•2b=2 3 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=3

，
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（2）由題意知，直線A₂P與直線A₂Q的斜率均存在且不為0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設(shè)直線A₂P的方程為：y=k（x-2），直線A₂Q的方程為：y=-

1

k

（x-2）
y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y整理可得：（4k²+3）x²-16k²x+4（4k²-3）=0，容易知△＞0恒成立，
由韋達(dá)定理得：x₁•2=

4(4k2-3)

4k2+3

，
所以x₁=

2(4k2-3)

4k2+3

，代人y=k（x-2），可得：y₁=

-12k

4k2+3

，
所以P（

2(4k2-3)

4k2+3

，

-12k

4k2+3

），
同理可得：Q（

2(4-3k2)

3k2+4

，

12k

3k2+4

），
當(dāng)PQ⊥x軸時，

2(4k2-3)

4k2+3

=

2(4-3k2)

3k2+4

，解得k²=1，此時直線PQ方程為x=

2

7

，知直線PQ過點(diǎn)（

2

7

，0）；
當(dāng)直線PQ與x軸斜交時，直線PQ的方程為：y-

12k

3k2+4

=

-7k

4(k2-1)

（x-

2(4-3k2)

3k2+4

），
化簡可得：y=

-7k

4(k2-1)

（x-

2

7

），知直線PQ過定點(diǎn)（

2

7

，0）．
綜上知，直線PQ恒過定點(diǎn)（

2

7

，0）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．