Question

17．若以曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)M₁（x₁，y₁）為切點(diǎn)作切線l₁，曲線上總存在異于M的點(diǎn)N（x₂，y₂），以點(diǎn)N為切點(diǎn)做切線l₂，且l₁∥l₂，則稱曲線y=f（x）具有“可平行性”，現(xiàn)有下列命題：①偶函數(shù)的圖象都具有“可平行性”；②函數(shù)y=sinx的圖象具有“可平行性”；③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且對(duì)應(yīng)的兩切點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標(biāo)滿足${x_1}+{x_2}=\frac{2}{3}$；④要使得分段函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}（x＞m）\\{e^x}-1（x＜0）\end{array}\right.$的圖象具有“可平行性”，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m=1．
以上四個(gè)命題真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分別求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的切線斜率，結(jié)合曲線y=f（x）具有“可平行性”，即可得到結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)y=1滿足是偶函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=0恒成立，此時(shí)，任意兩點(diǎn)的切線都是重合的，故①不符號(hào)題意．
②由y′=cosx和三角函數(shù)的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有無(wú)窮多個(gè)，符合題意．
③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b，則f′（x）=3x²-2x+a，方程3x²-2x+a-m=0在判別式△=（-2）²-12（a-m）≤0時(shí)不滿足方程y′=a（a是導(dǎo)數(shù)值）至少有兩個(gè)根．命題③錯(cuò)誤；
④函數(shù)y=e^x-1（x＜0），y′=e^x∈（0，1），函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
則由1-$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），得$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），
∴x＞1，則m=1．
故要使得分段函數(shù)f（x）的圖象具有“可平行性”，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m=1，④正確．
∴正確的命題是②④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是將定義正確轉(zhuǎn)化為：曲線上至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，綜合性較強(qiáng)，考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．