Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E，AB=2AC．
（Ⅰ）求證：BE=2AD；
（Ⅱ）若AC=1，EC=2，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）由CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E，推導(dǎo)出DE=DA，由A，D，E，C四點(diǎn)共圓，推導(dǎo)出△DBE∽△CAB，由此能證明BE=2AD．
（2）由切割線定理知BD•BA=BE•BC，由此利用已知條件結(jié)合△DBE∽△CAB，能求出AD的長．

解答： 證明：（1）∵CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E，
∴DE=DA，
∵A，D，E，C四點(diǎn)共圓，
∴∠DEC+∠DAC=180°，
又∵∠DEC+∠DEB=180°，
∴∠DAC=∠DEB，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△CAB，
∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∴BE=2AD．
（2）由切割線定理知BD•BA=BE•BC，
∵AC=1，EC=2，AB=2AC，BE=2AD，
∴AB=2，BD=BE=2AD，
設(shè)BE=x，
∵△DBE∽△CAB，
∴

2-AD

2+x

=

AD

1

=

x

2

，
∴

2-AD

2+2AD

=AD，即2AD²+3AD-2=0，
解得AD=

1

2

，或AD=-2（舍），
∴AD=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相似三角形的性質(zhì)和切割線定理的合理運(yùn)用．