Question

已知向量

a

=(sinα，-2)與

b

=(1，cosα)，其中α∈(0，

π

2

)．
（1）問向量

a

，

b

能平行嗎？請說明理由；
（2）若

a

⊥

b

，求sinα和cosα的值；
（3）在（2）的條件下，若cosβ=

10

10

，β∈(0，

π

2

)，求α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理即可判斷出；
（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（3）利用平方關(guān)系和兩角和差的正弦余弦公式及其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）向量

a

，

b

不能平行．
若平行，則sinαcosα+2=0，
即sin2α=-4，而-4∉[-1，1]．
∴向量

a

，

b

不能平行．
（2）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinα-2cosα=0，
即sinα=2cosα．
又∵sin²α+cos²α=1，
∴4cos²α+cos²α=1，
即cos2α=

1

5

，∴sin2α=

4

5

．
又α∈(0，

π

2

)，sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

．
（3）由（2）知sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

cosβ=

10

10

，β∈(0，

π

2

)，
得sinβ=

3 10

10

．
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

5

5

•

10

10

-

2 5

5

•

3 10

10

=-

2

2

．
又α+β∈（0，π），
則α+β=

3π

4

．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)平方關(guān)系、兩角和差的正弦余弦公式及其單調(diào)性．