Question

已知雙曲線x²-y²=2013的左、右頂點(diǎn)分別為M、N，點(diǎn)P是雙曲線上異于M、N的任意一點(diǎn)．
（1）記直線PM、PN的斜率分別為k_PM、k_PN，求證：k_PM•k_PN為定值；
（2）若點(diǎn)P是雙曲線上位于第一象限的點(diǎn)，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．
（3）類比到橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，M、N為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于M、N的任意一點(diǎn)．k_PM•k_PN還是定值嗎？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值，如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出M、N的坐標(biāo)，設(shè)P（x₀，y₀），由于P在雙曲線上，故

x

2 0

-

y

2 0

=2013，再利用斜率公式，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)∠PMN=α，則∠PNM=7α，利用k_PM•k_PN=1，可求∠MPN；
（3）設(shè)P（x₀，y₀），由于P在橢圓上，故

x

2 0

-a2=-

a2

b2

y

2 0

，再利用斜率公式，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：由題知M(-

2013

，0)，N(

2013

，0)，
設(shè)P（x₀，y₀），由于P在雙曲線上，故

x

2 0

-

y

2 0

=2013．
∴kPM•kPN=

y0

x0+ 2013

•

y0

x0- 2013

=

y 2 0

x 2 0 -2013

=1．…（3分）
（2）解：設(shè)∠PMN=α，則∠PNM=7α，
∴k_PM=tanα，k_PN=tan（π-7α）=-tan7α，
由（1）可知，k_PM•k_PN=1，即tanα•（-tan7α）=1，
∴cos7αcosα+sin7αsinα=0，所以cos6α=0．
又∵0＜α＜7α＜π，∴6α=

π

2

，
∴α=

π

12

，
從而∠MPN=π-α-7α=

π

3

．…（8分）
（3）解：由題知M（-a，0），N（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），
由于P在橢圓上，故

x

2 0

-a2=-

a2

b2

y

2 0

．
∴kPM•kPN=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y 2 0

x 2 0 -a2

=-

b2

a2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線斜率的計(jì)算，考查類比思想，正確計(jì)算是關(guān)鍵．