Question

給出下列命題：
①．若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增，則f′（x）＞0；
②．若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則它在該區(qū)間上必有最值；
③．若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）同時(shí)在x=a處取得極大值，則F（x）=f（x）+g（x）在x=a處不一定取得極大值；
④．若0＜x＜

π

2

，則tanx＞x+

x3

3

．
其中為真命題的有

 

．（填相應(yīng)的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系，可判斷①；根據(jù)函數(shù)最值的幾何特征，可判斷②；根據(jù)極值的幾何特征，可判斷③；利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出tanx-（x+

x3

3

）＞0在（0，

π

2

）上恒成立，可判斷④．

解答： 解：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0，故①錯(cuò)誤；
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則它在該區(qū)間上必有最值，故②正確；
若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）同時(shí)在x=a處取得極大值，則F（x）=f（x）+g（x）在x=a處必取得極大值，故③錯(cuò)誤；
令y=tanx-（x+

x3

3

），則y′=tan²x-x²，當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，y′＞0恒成立，故y=tanx-（x+

x3

3

）在（0，

π

2

）上為增函數(shù)，
又∵y|_x=0=tanx-（x+

x3

3

）=0，故y=tanx-（x+

x3

3

）＞0在（0，

π

2

）上恒成立，故④正確；
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系，函數(shù)最（極）值的幾何特征，不等式恒成立，綜合性可，判斷難度大，屬于難題．