Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l過定點(diǎn)A（4，0）且與拋物線C交于P、Q兩點(diǎn)，若以弦PQ為直徑的圓E過原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓E的面積最小時(shí)，求E的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為x=my+4，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+4 y2=2px

，得y²-2mpy-8p=0，所以x₁x₂+y₁y₂=-8p（m²+1）+8pm²+16=0，由此能求出拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=4

(m2+ 5 2 )2- 9 4

≥8，此時(shí)圓心為（4，0），半徑為4，由此能求出圓E面積最小時(shí)，其方程為（x-4）²+y²=16．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為x=my+4，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意知：OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=0，…．（2分）
由

x=my+4 y2=2px

，得y²-2mpy-8p=0，
∴△=4m²p²+32p＞0，
y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-8p，…（4分）
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
=-8p（m²+1）+8pm²+16=0，
∴-8p+16=0，p=2，符合△＞0，
∴拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)(4m2p2+32p)

=4

(m2+1)(m2+4)

=4

(m2+ 5 2 )2- 9 4

≥8，
m=0時(shí)取“=”，
此時(shí)圓心為（4，0），半徑為4，
∴圓E面積最小時(shí)，其方程為（x-4）²+y²=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．