Question

已知橢圓

x2

3

+y2=1的一個(gè)頂點(diǎn)A（0，-1），是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與已知橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使|AM|=|AN|？若存在，求出k的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：y=kx+b為AB所在直線方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)C（x₃，y₃），由已知條件推導(dǎo)出C（-

3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），b=

3k2+1

2

，再由36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）＞0，能求出k的范圍．

解答： 解：y=kx+b為MN所在直線方程，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點(diǎn)C（x₃，y₃），
則x₃=

x1+x2

2

，y₃=

y1+y2

2

，
將直線方程代入橢圓方程，整理得：x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0，
則x₁+x₂=-

6kb

1+3k2

，
∴x₃=-

3kb

1+3k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=-

6k2b

1+3k2

+2b，
整理得y₃=

b

1+3k2

，
∴C（-

3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），
∵|MA|=|AN|，
∴C點(diǎn)在MN的垂直平分線上，
∴

k( b 1+3k2 +1)

-3kb 1+3k2

=-1，
解得b=

3k2+1

2

，
∵x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0的判別式要大于0，
∴36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）＞0
整理得3k²-b²+1＞0把b²換成（

3k2+1

2

）²
整理得3k⁴-2k²-1＜0即（3k²+1）（k²-1）＜0
∵3k²+1＞0，
∴k²-1＜0，又k≠0，
解得k∈（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的直線是否存在的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．