Question

某小型餐館一天中要購(gòu)買A，B兩種蔬菜，A，B蔬菜每公斤的單價(jià)分別為2元和3 元．根據(jù)需要，A蔬菜至少要買6公斤，B蔬菜至少要買4公斤，而且一天中購(gòu)買這兩種蔬菜的總費(fèi)用不能超過(guò)60元．
（1）寫(xiě)出一天中A蔬菜購(gòu)買的公斤數(shù)x和B蔬菜購(gòu)買的公斤數(shù)y之間的滿足的不等式組；并在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域（用陰影表示），
（2）如果這兩種蔬菜加工后全部賣出，A，B兩種蔬菜加工后每公斤的利潤(rùn)分別為2元和1元，餐館如何采購(gòu)這兩種蔬菜使得利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大為多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）利用線性規(guī)劃的內(nèi)容作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域
（2）利用線性規(guī)劃的內(nèi)容進(jìn)行圖象平移，然后確定目標(biāo)函數(shù)是最值．

解答： 解：（1）依題意，A蔬菜購(gòu)買的公斤數(shù)x和B蔬菜購(gòu)買的公斤數(shù)y之間的滿足的不等式組如下：

2x+3y≤60 x≥6 y≥4

…（3分）
畫(huà)出的平面區(qū)域如圖．…（6分）
（2）設(shè)餐館加工這兩種蔬菜利潤(rùn)為z元，則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+y…（7分）
∵y=-2x+z∴z表示過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)斜率為-2的一組平行線在y軸上的截距．
聯(lián)立

2x+3y=60 y=4

解得

x=24 y=4

即B（24，4）…（9分）
∴當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B（24，4）時(shí)，在y軸上的截距最大，
即z_max=2×24+4=52…（11分）
答：餐館應(yīng)購(gòu)買A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利潤(rùn)最大為52元．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識(shí)，以及線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．