Question

【題目】已知函數(shù)f（x）3,g（x）＝alnx﹣2x（a∈R）.

（1）討論g（x）的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a,使不等式f（x）≥g（x）恒成立？如果存在,求出a的值；如果不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在,

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對(duì)a進(jìn)行分類討論即可求解；

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,構(gòu)造函數(shù)u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)即可求解.

解：（1）,x＞0,

（i）當(dāng)a≤0時(shí),g′（x）＜0,函數(shù)在（0,+∞）上單調(diào)遞減,

（ii）當(dāng)a＞0時(shí),令得，令，得，

所以函數(shù)g（x）在（0,）上單調(diào)遞增,在（）上單調(diào)遞減,

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即恒成立,

即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,令u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,則u（1）＝0,

要使得原不等式成立,則u（x）在x＝1處取得極小值,

因?yàn)?/span>,

所以u′（1）＝0可得a＝4,

檢驗(yàn)a＝4時(shí),u′（x）,

設(shè)v（x）＝x（x+1）ex+2ex﹣4e,且v（1）＝0,

顯然v（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈（0,1）時(shí),v（x）＜0,即u′（x）＜0,u（x）單調(diào)遞減,當(dāng)x∈（1,+∞）時(shí),v（x）＞0,即u′（x）＞0,u（x）單調(diào)遞增,

故u（x）的最小值u（1）＝0,滿足題意,

綜上，a＝4.