Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）+x²-1＞0；
（2）若f（x）＜-|x+3|+m的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過對(duì)x＜1與x≥1的討論，即可求得不等式f（x）+x²-1＞0的解集；
（2）f（x）＜-|x+3|+m的解集非空??x∈R，使得|x-1|+|x+3|＜m成立，易求[|x-1|+|x+3|]_min=4，從而可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，由1-x+x²-1＞0得x＜0；
當(dāng)x≥1時(shí)，由x-1+x²-1＞0得x＞1；
所以，原不等式的解集為：{x|x＜0，或x＞1}；
（2）f（x）＜-|x+3|+m的解集非空??x∈R，使得|x-1|+|x+3|＜m成立，
必須m＞[|x-1|+|x+3|]_min，
因?yàn)閨x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，即[|x-1|+|x+3|]_min=4，
故m＞4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．