Question

7．若函數(shù)f（x）不是常函數(shù)，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；
（3）求證：若f（2）=1，f（1）≠1，則對任意的x∈R有f（x+1）=-f（x）

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（0），再證明f（0）≠0，問題得以解決；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是偶函數(shù)，
（3）先求出f（1）=-1，再令a=x，b=1，則f（1+x）+f（1-x）=2f（1）f（x）=-2f（x）=2f（x），即可證明f（x+1）=f（x），根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，即可證明．

解答 解：（1）令a=b=0，
則f（0）+f（0）=2f（0）f（0），
解得f（O）=0，或f（0）=1，
當(dāng)f（0）=0時，令a=x，b=0，
則f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，
∴f（x）=0，這與函數(shù)f（x）不是常函數(shù)相矛盾，故f（0）≠0，
∴f（0）=1，
（2）令a=0，b=x，
則f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
（3）令a=b=1，
則f（2）+f（0）=2f（1）f（1），
∴f²（1）=1，
∵f（1）≠1，
∴f（1）=-1，
再令a=x，b=1，
則f（1+x）+f（1-x）=2f（1）f（x）=-2f（x）=2f（x），
若f（x+1）=f（x）成立，則f（x-1+1）=f（x-1），即f（x）=f（x-1），
∴f（1+x）+f（1-x）=2f（x），
∴f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=-f（x）．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．