Question

12．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知射線θ=$\frac{π}{4}$與曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=（t-2）^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 射線θ=$\frac{π}{4}$的直角坐標方程為y=x（x≥0），把曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=（t-2）^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標方程為y=（x-2）²．聯(lián)立方程組求出A、B兩點坐標，由此能求出AB的中點的直角坐標．

解答 解：射線θ=$\frac{π}{4}$的直角坐標方程為y=x（x≥0），
把曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=（t-2）^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標方程為y=（x-2）²．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-2）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），B（4，4），
∴AB的中點為（$\frac{5}{2}，\frac{5}{2}$）．
故答案為：（$\frac{5}{2}，\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查兩點的中點坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的相互轉(zhuǎn)化及中點坐標公式的合理運用．