Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=

n2+n

2

（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an+3

2an+1•an3

，證明：當n≥2時，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

9

8

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把給出的遞推式兩邊同時除以n²+n，得到數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出S_n，然后利用a_n=S_n-S_n-1求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=

an+3

2an+1•an3

，然后利用放縮法證明不等式．

解答： （1）解：由nS_n+1-（n+1）S_n=

n2+n

2

，得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

．
∴數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列．
∵a₁=1，
∴

S1

1

=

a1

1

=1．
則

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

．
∴Sn=

n2+n

2

．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n2+n

2

-

(n-1)2+n-1

2

=n．
驗證n=1時成立．
∴a_n=n；
（2）證明：b_n=

an+3

2an+1•an3

=

n+3

2n+1•n3

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1+

5

64

+b3+b4+…+bn
＜

69

64

+

3

27

+

3

28

+…+

3

2n+4

=

69

64

+

3 27 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

=

72

64

-

3

2n+4

＜

9

8

．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式，考查了等差關(guān)系的確定，訓練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是中高檔題．