Question

設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若對(duì)于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.

（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

Answer 1

（Ⅰ）解：由等比數(shù)列的，，

得，，，且當(dāng)時(shí)，.           

      所以，，，且當(dāng)時(shí)，.        

      即                                       

（Ⅱ）證明：因?yàn)?，

所以 ，.            

因?yàn)?，

所以 ，.                   

     由 ，得 .                                      

因?yàn)?，

     所以 ，

     所以 ，即 .                     

（Ⅲ）證明：（充分性）因?yàn)?，，

 所以 ，

 所以  對(duì)一切正整數(shù)n都成立.                   

因?yàn)?，，

所以 .                                             

（必要性）因?yàn)閷?duì)于任意的，，

當(dāng)時(shí)，由，得；

當(dāng)時(shí)，由，，得.

所以對(duì)一切正整數(shù)n都有.                              

由 ，，得對(duì)一切正整數(shù)n都有，          

所以公比為正有理數(shù).                                

假設(shè) ，令，其中，且與的最大公約數(shù)為1.

因?yàn)?sub>是一個(gè)有限整數(shù)，

所以必然存在一個(gè)整數(shù)，使得能被整除，而不能被整除.

又因?yàn)?sub>，且與的最大公約數(shù)為1.

所以，這與（）矛盾.

所以.

因此，.