Question

1．已知函數(shù)f（x）=2b•4^x-2^x-1
（Ⅰ）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時，利用定義證明函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時，若f（x）-m≥0對于任意x∈R恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）有零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（Ⅱ）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時，f（x）-m≥0即為m≤4^x-2^x-1恒成立，即m≤4^x-2^x-1的最小值，運用配方和二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可求得m的范圍；
（Ⅲ）f（x）有零點，即為2b•4^x-2^x-1=0有實數(shù)解，由參數(shù)分離和指數(shù)函數(shù)的值域，即可得到b的范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時，f（x）=4^x-2^x-1，
g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$=2^x-2^-x-1，
設(shè)m＜n，g（m）-g（n）=2^m-2^-m-1-（2ⁿ-2^-n-1）
=（2^m-2ⁿ）+（2^-n-2^-m）=（2^m-2ⁿ）（1+2^-m-n），
由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，2^m-2ⁿ＜0，
即有g(shù)（m）＜g（n），則g（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時，f（x）-m≥0即為m≤4^x-2^x-1恒成立，
即m≤4^x-2^x-1的最小值，而4^x-2^x-1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)x=-1時，取得最小值-$\frac{5}{4}$，
則有m≤-$\frac{5}{4}$；
（Ⅲ）f（x）有零點，即為2b•4^x-2^x-1=0有實數(shù)解，
即2b=$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$=（$\frac{1}{2}$）^2x+（$\frac{1}{2}$）^x=[（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$]²-$\frac{1}{4}$，
由于（$\frac{1}{2}$）^x＞0，可得[（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$]²-$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
即有2b＞0，即b＞0．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，不等式恒成立問題的解法和函數(shù)的零點問題，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值和方程的解，考查運算能力，屬于中檔題．