Question

12．已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點都在坐標原點O，C₁和C₂有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點F到直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當C₂的準線與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離為15時，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)點F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點，交C₂于M，N兩點．當$|PQ|=\frac{36}{7}$時，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （I）先設(shè)C₁、C₂的標準方程，進而可得到a=2c，再求出C₁的右準線方程、C₂的準線方程，根據(jù)C₁的長軸長、短軸長及點F到C₁右準線的距離成等比數(shù)列求出a，b，c的值，得到答案；
（II）先表示出直線l的方程，然后設(shè)M、N、P、Q四點的坐標，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程進而得到兩根之和、兩根之積再由$|PQ|=\frac{36}{7}$可求出c的值，最后聯(lián)立直線和拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，同樣可得到兩根之和根據(jù)是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其半焦距為c（c＞0），則C₂：y²=4cx，
由條件知（2b）²=2a（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），得a=2c，
C₁的右準線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，即x=4c，
C₂的準線方程為x=-c，
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=$3\sqrt{3}$，
從而C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1，C₂：y²=12x；
（Ⅱ）由題設(shè)知l：y=x-c，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由（Ⅰ）知C₁：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，即3x²+4y²=12c²，
由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，知x₃、x₄滿足7x²-8cx-8c²=0，
從而|PQ|=$\sqrt{（{x}_{3}-{x}_{4}）^{2}+（{y}_{3}-{y}_{4}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•|x₃-x₄|=$\frac{24}{7}$c，
由條件|PQ|=$\frac{36}{7}$，得c=$\frac{3}{2}$，故C₂：y²=6x，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{y=x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得x²-9x+$\frac{9}{4}$=0，所以x₁+x₂=9，
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．

點評 本題主要考查橢圓的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題，直線和圓錐曲線的綜合題是每年的重頭戲，一般作為壓軸題出現(xiàn)，要想答對必須熟練掌握其基礎(chǔ)知識，多做練習．注意解題方法的積累，屬于中檔題．