Question

已知方程x²+y²-2mx+2my-2=0表示的曲線恒過第三象限的一個(gè)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A又在直線l：mx+ny+1=0上，則當(dāng)正數(shù)m，n的乘積取得最大值時(shí)直線l的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)方程x²+y²-2mx+2my-2=0，確定第三象限的定點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入直線l：mx+ny+1=0上，利用基本不等式，可求正數(shù)m，n的乘積的最大值，故可求直線方程．

解答： 解：∵方程x²+y²-2mx+2my-2=0
∴x²+y²-2-2m（x-y）=0
解方程組

x2+y2-2=0 x-y=0

得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∵A在第三象限
∴A（-1，-1）
∵點(diǎn)A在直線l：mx+ny+1=0
∴m+n=1
∵m＞0，n＞0
∴mn≤(

m+n

2

)2=

1

4

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

2

時(shí)，正數(shù)m，n的乘積取得最大值
∴直線l：mx+ny+1=0為直線l：x+y+2=0
故答案為：x+y+2=0

點(diǎn)評：本題以圓的方程為載體，考查定點(diǎn)問題，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的方程確定定點(diǎn)的坐標(biāo)．