Question

（文）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AB=AC=1，∠ABC=

π

4

，D是CC₁的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段A₁B₁上．
（1）當(dāng)M為A₁B₁中點(diǎn)時(shí)，求異面直線DM與AB所成角的大�。�
（2）指出直線CC₁與平面MAB的位置關(guān)系（不用證明），并求三棱錐D-MAB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)AB∥A₁B₁，可得∠A₁MD或其補(bǔ)角是異面直線DM與AB所成的角；
（2）CC₁∥平面MAB．確定D到平面AA₁B₁B的距離與C到平面AA₁B₁B的距離相等，為CA=1，求出△MAB的面積，即可求三棱錐D-MAB的體積．

解答： 解：（1）∵AB∥A₁B₁
∴∠A₁MD或其補(bǔ)角是異面直線DM與AB所成的角．…3分
連接A₁D，則三角形A₁DM為直角三角形，且∠DA1M=900，A1D=

5

2

，A1M=

1

2

∴tan∠A1MD=

A1D

A1M

=

5

…5分
∴異面直線DM與AB所成的角為arctan

5

．…6分
（2）CC₁∥平面AA₁B₁B即CC₁∥平面MAB（不必證明）…7分
∵CA⊥AB，CA⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CA⊥平面AA₁B₁B
∴C到平面AA₁B₁B的距離為CA=1．
∵CC₁∥平面AA₁B₁B，
可知D到平面AA₁B₁B的距離與C到平面AA₁B₁B的距離相等，為CA=1．…9分
又AB∥A₁B₁，∴△MAB的面積S△ABM=

1

2

AB•AA1=

1

2

…11分
∴VD-MAB=

1

3

S△ABM•CA=

1

3

•

1

2

•AC=

1

6

．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線及其所成的角，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．