Question

已知，如圖，AB是圓柱的母線，BC是圓柱底面圓的直徑，D是圓柱底面圓上與B、C不重合的點，用＜MN，EF＞表示直線MN、EF的夾角．
（Ⅰ）在三棱錐A-BCD中，寫出所有兩棱的夾角（不寫出具體的角度值）；
（Ⅱ）在三棱錐A-BCD中的六條棱中取兩條棱，求這兩條棱互相垂直的概率．

Answer 1

考點：等可能事件的概率,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由題意列舉可得15個角；
（Ⅱ）可得其中的5個角是直角，由等可能事件的概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得＜AD，AB＞，＜AB，AC＞，＜AC，AD＞，＜AB，CD＞，＜AB，BC＞，
＜AB，BD＞，＜AC，BC＞，＜AC，BD＞，＜AC，CD＞，＜AD，BD＞，
＜AD，CD＞，＜AD，BC＞，＜BC，BD＞，＜BC，CD＞，＜BD，CD＞．
共15個；
（Ⅱ）∵AB是圓柱的母線，∴＜AB，BC＞=

π

2

，＜AB，BD＞=

π

2

，＜AB，CD＞=

π

2

．
∵BC是圓柱底面圓的直徑，∴＜BD，CD＞=

π

2

，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD．
設“在三棱錐A-BCD中的六條棱中取兩條棱，這兩條棱互相垂直”為事件E，則P(E)=

5

15

=

1

3

．
∴在三棱錐A-BCD中的六條棱中取兩條棱，這兩條棱互相垂直的概率為

1

3

．

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及等可能事件的概率，屬中檔題．