【題目】已知函數(shù)為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在與軸的交點處的切線斜率為-1.

(1)求的值及函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)證明:當時, ;

(3)證明:當時, .

【答案】(1) 在區(qū)間上單調遞減,在上單調遞增;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的f′(x)=ex﹣a.通過f′(x)=ex﹣20,即可求解函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增.

(2)求出f(x)的最小值,化簡f(x)1﹣ln4.構造g(x)=ex﹣x2﹣1,通過g′(x)0.判斷g(x)在(0,+∞)上單調遞增,得到g(x)g(0),推出結果.

3)首先證明:當x0時,恒有.令,則h′x=exx2.推出hx)在(0,+∞)上單調遞增,得到x+ln33lnx.利用累加法推出

試題解析:

(1)由,得

,所以.所以,

,得

所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在上單調遞增.

(2)證明:由(1)知

所以,即

,則

所以上單調遞增,所以,即

(3)首先證明:當時,恒有

證明如下:令,則

由(2)知,當時, ,所以,所以上單調遞增,

所以,所以.所以,即.依次取,代入上式,則, ,

以上各式相加,有

所以

所以,

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;②;③;

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