Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x²＜e^x；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，使得當x∈（x₀，+∞）時，恒有x²＜ce^x．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求得a，再利用導數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，求出導數(shù)，利用（1）問結(jié)論可得到函數(shù)的符號，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（3）令x₀=

1

c

，利用（2）的結(jié)論，得e^x＞x²＞

1

c

x，即x＜ce^x．即得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x-ax，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，解得a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0，得x=ln2，
當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．f（x）無極大值．
（2）令g（x）=e^x-x²，則g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；
（3）對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀=

1

c

＞0．
當x∈（x₀，+∞）時，由（2）得e^x＞x²＞

1

c

x，即x＜ce^x．
∴對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，使得當x∈（x₀，+∞）時，恒有x＜ce^x．

點評：該題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算及導數(shù)的應用等基礎(chǔ)知識，考查學生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬難題．