【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為.

（1）證明：有且只有一個零點.

（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最小值.

【答案】（1）證明見詳解；（2）2.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可由切線斜率求得參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可容易求得結(jié)果；

（2）先根據(jù)時，滿足題意，求得的初步范圍；再證時，滿足題意；構(gòu)造函數(shù)與，即可由函數(shù)單調(diào)性求得結(jié)果.

（1）證明：的定義域為，

，

則，解得.

，則在上單調(diào)遞減，

，，

有且僅有一個零點.

（2）解：當(dāng)時，，由此可得.

當(dāng)時，下面證明對恒成立.

證明：.

令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則.

令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則.

從而，又和不在同一處取到最值，則.

故當(dāng)時，恒成立，從而整數(shù)的最小值為2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在無窮數(shù)列中，，且，記的前n項和為.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）證明：中必有一項為1或3.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點分別為橢圓的左右頂點和右焦點，過點的直線交橢圓于點.

（1）若，點與橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求橢圓的方程；

（2）已知直線的斜率是直線斜率的倍.

①求橢圓的離心率；

②若橢圓的焦距為，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構(gòu)成，已知，.為了增加胸針的美觀程度，設(shè)計師準(zhǔn)備焊接三條金絲線且長度不小于長度，設(shè).

（1）試求出金絲線的總長度，并求出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時，金絲線的總長度最小，并求出的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個洞(或數(shù)字)，其相對兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計一個“十進(jìn)制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個數(shù)之一，而且每個數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請問：你能設(shè)計出這樣的骰子嗎?若能，請寫出你的設(shè)計方案；若不能，寫出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，,E為PD的中點，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點．

（1）求證：BD⊥AE

（2）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗癌藥物，服用后需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只需檢驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪份為陽性，就需要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果總陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為．

（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取遂份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．

（2）現(xiàn)取其中的份血液樣本，記采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數(shù)為；采用混合檢驗的方式，樣本簡要檢驗的總次數(shù)為；

（ⅰ）若，試運(yùn)用概率與統(tǒng)計的知識，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，

（ⅱ）若，采用混合檢驗的方式需要檢驗的總次數(shù)的期望比逐份檢驗的總次數(shù)的期望少，求的最大值（，，，，，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民團(tuán)結(jié)一心，眾志成城，共同抗擊疫情.某中學(xué)寒假開學(xué)后，為了普及傳染病知識，增強(qiáng)學(xué)生的防范意識，提高自身保護(hù)能力，校委會在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽(滿分100分)，競賽獎勵規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；

（2）若該校所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

(i)若該校共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù))；

(ii)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

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