Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)求出在區(qū)間[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的解析式，然后在畫出圖象，進(jìn)而求出a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，∴f（-x）=（

1

2

）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴當(dāng)x∈[2，4]時，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=x^x-4-1；
當(dāng)x∈[4，6]時，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數(shù)根，
∴函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上恰有三個交點，
通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是

loga(6+2)＞3 loga(2+2)＜3

，解得 2

2

3

＜a＜2，
即

3	4

＜a＜2，因此所求的a的取值范圍為（

3	4

，2）．
故答案為：（

3	4

，2）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)的交點及方程的根，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．