Question

已知E、F是x軸上的點，坐標原點O為線段EF的中點，G、P是坐標平面上的動點，點P在線段FG上，|

FG

|=10，|

EF

|=6，（

PE

+

1

2

EG

）•

EG

=0．
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）A、B為軌跡C上任意兩點，且

OE

=α

OA

+（1-α）

OB

，M為AB的中點，求△OEM面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）取EG的中點為H，由已知條件推導出PH是線段EG的垂直平分線，|PE|+|PF|=|GF|=10，從而得到P點的軌跡為橢圓，由此能求出P的軌跡C的方程．
（2）由已知條件推導出A、B、E三點共線，設AB所在直線方程為x=my-3，聯(lián)立

x=my-3 x2 25 + y2 16 =1

，整理得（16m²+25）y²-96my-256=0，由此能求出△OEM的面積最大值．

解答： 解：（1）取EG的中點為H，則

PE

+

1

2

EG

=

PH

，
∵(

PE

+

1

2

EG

)•

EG

=0，∴

PH

•

EG

=0，∴PH⊥GE，
∴PH是線段EG的垂直平分線，…（2分）∴|PE|=|PG|，
∴|PE|+|PF|=|GF|=10，
∴P點的軌跡為橢圓，設其軌跡方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，…（4分）
則2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16，
∴P的軌跡C的方程為：

x2

25

+

y2

16

=1．…（6分）
（2）∵

OE

=α

OA

+(1-α)

OB

=α

OA

+

OB

-α

OB

，
∴

OE

-

OB

=α(

OA

-

OB

)，∴

BE

=α

BA

，∴A、B、E三點共線，…（8分）
∵E（-3，0），設AB所在直線方程為x=my-3，
聯(lián)立

x=my-3 x2 25 + y2 16 =1

，整理得（16m²+25）y²-96my-256=0，
∴y1+y2=

96m

16m2+25

，∴M點的縱坐標為yM=

y1+y2

2

=

48m

16m2+25

，…（11分）
∴S△OEM=

1

2

|

OE

||yM|=

1

2

×3×

48|m|

16m2+25

=

72|m|

16m2+25

=

72

16|m|+ 25 |m|

≤

9

5

，
∴當16|m|=

25

|m|

，即m=±

5

4

時，△OEM的面積最大為

9

5

．…（13分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．