Question

已知函數(shù)f（x）=x^a•lnx，其中a∈Z．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知條件推導出f'（x）=x^a-1•（alnx+1），x＞0，x^a-1＞0．再由a的取值范圍分類討論，能判斷出
函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）當a=-1時，f'（x）=x^-2•（1-lnx）．令f'（x）=0，得x=e．列表討論能求出函數(shù)f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x^a•lnx，
∴f'（x）=x^a-1•（alnx+1），x＞0，x^a-1＞0．
當a＞0時，令f'（x）＞0，得x＞e-

1

a

，
∴f（x）的單增區(qū)間為(e-

1

a

，+∞)，
同理，單減區(qū)間為(0，e-

1

a

)；
當a=0時，f′(x)=

1

x

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單增；
當a＜0時，令f'（x）＞0，得x＜e-

1

a

，
∴f（x）的單增區(qū)間為(0，e-

1

a

)，
同理，單減區(qū)間為(e-

1

a

，+∞)．（8分）
（2）當a=-1時，f（x）=x^-1•lnx，
f'（x）=x^-2•（1-lnx）．令f'（x）=0，得x=e．
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f’（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴f(x)max=f(e)=

1

e

．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．