Question

設（5x-

x

）ⁿ的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，M-N=240，求展開式中x³項的系數(shù)．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：由條件求得n=4，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于，3，求出r的值，即可求得展開式中x³項的系數(shù)．

解答： 解：由題意可得N=2ⁿ，令x=1，則M=（5-1）ⁿ=4ⁿ=（2ⁿ）²．
∴（2ⁿ）²-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4．
（5x-

x

）ⁿ=（5x-

x

）⁴的展開式中第r+1項T_r+1=C

r 4

•（5x）^4-r•（-

x

）^r
=（-1）^r•C

r 4

•5^4-r•x4-

r

2

．
令4-

r

2

=3，即r=2，可得展開式中x³項的系數(shù)為 C

2 4

•5²•（-1）²=150．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．