【題目】如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)是以原點(diǎn)為圓心，短軸長(zhǎng)為半徑的圓，過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，試計(jì)算的值是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知得，數(shù)形結(jié)合求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得，則橢圓方程可求；

（Ⅱ）設(shè)，，由，是切點(diǎn)，可知、、、四點(diǎn)共圓．分別寫出以為直徑的圓的方程與圓的方程，聯(lián)立可得所在直線方程求出直線在，軸上的截距，結(jié)合在橢圓上可得的值是定值．

解：（Ⅰ）依題意知：橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，則，

設(shè)橢圓的方程為

由橢圓的對(duì)稱性知，又

， 為等腰直角三角形，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

將C的坐標(biāo)代入橢圓方程得

所求的橢圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，由，是的切點(diǎn)知，，，

、、、四點(diǎn)在同一圓上，

且圓的直徑為OP則圓心為，

其方程為，

即 ①

即點(diǎn)，滿足方程①，又點(diǎn)，都在上，

， 坐標(biāo)也滿足方程 ②

②①得直線的方程為，

令，得，令得，

，，又點(diǎn)Р在橢圓E上，

，即為定值.

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【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，給出命題：①；②若，則存在，使得；③與所有極值之和一定小于0；④若，且是曲線的一條切線，則的取值范圍是.則以上命題正確序號(hào)是_____________.

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【題目】己知A，B分別為橢圓C：（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，P為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝﹣4，△PAB的面積的最大值為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C上存在兩點(diǎn)M，N，分別滿足OM∥PA，ON∥PB，求|OM||ON|的最大值．

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（1）討論f(x)的奇偶性；

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（Ⅰ）求在這10個(gè)賣場(chǎng)中，甲型號(hào)汽車的“星級(jí)賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若在這10個(gè)賣場(chǎng)中，乙型號(hào)汽車銷售量的平均數(shù)為26.7，求的概率；

（Ⅲ）若，記乙型號(hào)汽車銷售量的方差為，根據(jù)莖葉圖推斷為何值時(shí)，達(dá)到最小值（只寫出結(jié)論）.

注：方差，其中是，，…，的平均數(shù).

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【題目】已知點(diǎn)在圓 上，點(diǎn)在圓 上，則下列說法錯(cuò)誤的是

A. 的取值范圍為

B. 取值范圍為

C. 的取值范圍為

D. 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，對(duì)任意恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足.

（1）若點(diǎn)，求直線的方程；

（2）若直線l過點(diǎn)且不與x軸重合，過點(diǎn)M作垂直于l的直線與y軸交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求的單調(diào)性；

（2）若，對(duì)于任意，是否存在與有關(guān)的正常數(shù)，使得成立？如果存在，求出一個(gè)符合條件的；否則說明理由．

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