14.在直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的方程為x2+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1,直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ-2=0.
(Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)l與C的交點(diǎn)為P1,P2,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

分析 (I)由曲線C的方程可得參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)).利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.
(II)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$,解得交點(diǎn)坐標(biāo),可得線段P1P2的中點(diǎn)M.垂直于l的直線斜率為$\frac{1}{2}$,利用點(diǎn)斜式即可得出直角坐標(biāo)方程,再化為極坐標(biāo)方程即可.

解答 解:(I)曲線C的方程為x2+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1,可得參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)).
直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ-2=0,化為直角坐標(biāo)方程:2x+y-2=-0.
(II)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$.
可得線段P1P2的中點(diǎn)M$(\frac{1}{2},1)$.
垂直于l的直線斜率為$\frac{1}{2}$,
故所求的直線方程為:y-1=$\frac{1}{2}$$(x-\frac{1}{2})$,化為2x-4y+3=0.
化為極坐標(biāo)方程:2ρcosθ-4ρsinθ+3=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中點(diǎn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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