已知函數(shù)若函數(shù)在x = 0處取得極值．
(1) 求實數(shù)的值；
(2) 若關于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(3)證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立．

(1)；(2) ；(3)見解析.

解析試題分析：(1)先有已知條件寫出的解析式，然后求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)極值的關系得到，解得的值；(2)由構造函數(shù)，則在上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在恰有兩個不同實數(shù)根，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由零點的存在性定理得到，解不等式組即可；(3)證明不等式，即是證明，即.對函數(shù)求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到其在區(qū)間上的最大值，則有成立，那么不等式得證.
試題解析：(1) 由題意知則，   2分
∵時， 取得極值，∴，故，解得．
經(jīng)檢驗符合題意．                                                       4分
(2)由知
由 ，得，                          5分
令，
則在上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在恰有兩個不同實數(shù)根． ，         7分
當時，，于是在上單調(diào)遞增；
當時，，于是在上單調(diào)遞減．依題意有
，即，　．9分
(3) 的定義域為，由(1)知，
令得，或 (舍去)，                 11分
∴當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．　　∴為在

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

己知函數(shù) .
(I)若是，的極值點，討論的單調(diào)性；
(II)當時，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，；
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
(3)令，是否存在實數(shù)，當 (是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知點，函數(shù)的圖象上的動點在軸上的射影為，且點在點的左側.設，的面積為.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式及的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在點處的切線方程為．
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；
⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，曲線過點P（1，0），且在P點處的切斜線率為2．
（1）求，的值；
（2）證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)＞0）
（1）若的一個極值點，求的值；
（2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍
（3）若對任意的總存在＞成立，求實數(shù)m的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（II）若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的集合.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.

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