Question

某次圍棋比賽的決賽階段實行三番棋決定冠軍歸屬（即三局兩勝制，和棋判無效，加賽直至分出勝負）．打入決賽的兩名選手甲、乙平時進行過多次對弈，有記錄的30局結(jié)果如下表：

	甲先	乙先
甲勝	10	9
乙勝	5	6

請根據(jù)表中的信息（用樣本頻率估計概率），回答下列問題：
（Ⅰ）如果比賽第一局由擲一枚硬幣的方式?jīng)Q定誰先，試求第一局甲獲勝的概率；
（Ⅱ）若第一局乙先，此后每局負者先，
 ①求甲以二比一獲勝的概率；
 ②該次比賽設(shè)冠軍獎金為40萬元，亞軍獎金為10萬元，如果冠軍“零封”對手（即2：0奪冠）則另加5萬元．求甲隊員參加此次決賽獲得獎金數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）若甲先，則甲獲作畫的概率是

2

3

，乙獲勝的概率是

1

3

，若乙先，則甲獲勝的概率是

3

5

，乙獲勝的概率是

2

5

，由此能求出第一局甲獲勝的概率．
（Ⅱ）①甲以二比一獲勝，即甲勝第一、三局或甲勝第二、三局，由此能求出甲二比一獲勝的概率．
②由題意知，X的所有可能取值為10，40，45，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題中表格信息知：
若甲先，則甲獲作畫的概率是

2

3

，乙獲勝的概率是

1

3

，
若乙先，則甲獲勝的概率是

3

5

，乙獲勝的概率是

2

5

，
∴第一局甲獲勝的概率是p1=

1

2

×

2

3

+

1

2

×

3

5

=

19

30

．
（Ⅱ）①甲以二比一獲勝，即甲勝第一、三局或甲勝第二、三局，
概率是P₂=

3

5

×

2

5

×

2

3

+

2

5

×

2

3

×

3

5

=

8

25

．
②由題意知，X的所有可能取值為10，40，45，
P（X=40）=

8

25

，
P（X=45）=

3

5

×

3

5

=

9

25

，
P（X=10）=1-

8

25

-

9

25

=

8

25

，
∴X的分布列為：

X	10	40	45
p	8 25	8 25	9 25

EX=10×

8

25

+40×

8

25

+45×

9

25

=

161

5

=32.2（萬元）．
∴甲隊員參加此次決賽獲得獎金數(shù)的數(shù)學期望是32.2萬元．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．