Question

已知關(guān)于x的方程x²-2mx+m+6=0的兩個根為x₁，x₂，求函數(shù)y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：計算題

分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系利用參數(shù)m表示出函數(shù)的解析式，必須注意參數(shù)m的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出最小值即可．

解答： 解：∵方程x²-2mx+m+6=0的兩個根為x₁，x₂，
∴

x1+x2=2m x1x2=m+6

且△=4（m²-m-6）≥0，
∴y=（x₁-1）²+（x₂-1）²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2=4m²-6m-10，
且m≥3或m≤-2．
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當m=3時，
函數(shù)y=4m²-6m-10的取得最小值，最小值為：8．
即函數(shù)y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是8．

點評：本題主要考查了二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)最值等函數(shù)與方程的綜合運用．