Question

14．已知f（x）=e^xlnx+2e^x
（1）求y=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）已知函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$-x-1，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{n}$，其前n項(xiàng)和為S_n，求證：2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）y=g（x）=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
（2）2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$?ln1+ln2+…+lnn＞n-$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$=$（1-1）+（1-\frac{1}{2}）$+$（1-\frac{1}{3}）$+…+$（1-\frac{1}{n}）$，?lnn＞1-$\frac{1}{n}$．構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-1-x，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 （1）解：y=g（x）=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
則當(dāng)$\frac{1}{2}≤x＜1$時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（1）=-e．
又$g（\frac{1}{2}）$=-2$\sqrt{e}$，g（2）=-$\frac{1}{2}{e}^{2}$，$g（\frac{1}{2}）$＞g（2），∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）取得最小值．
∴函數(shù)g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值與最小值分別為：-e；-2$\sqrt{e}$．
（2）證明：2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$?ln1+ln2+…+lnn＞n-$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$=$（1-1）+（1-\frac{1}{2}）$+$（1-\frac{1}{3}）$+…+$（1-\frac{1}{n}）$，
?lnn＞1-$\frac{1}{n}$．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-1-x，（x＞0），h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，即$ln\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{n}$-1，即lnn＞1-$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．